Positivity, hyperbolicity and Nevanlinna theory
Positivité, hyperbolicité et théorie de Nevanlinna
Résumé
This thesis deals with the theory of complex hyperbolicity, which studies the geometry of entire curves in complex manifolds, and more generally value distribution of meromorphic mappings between complex manifolds.
The contributions of this memoir concerns two main questions.
First, we wish to extend concepts and results of Nevanlinna theory of value distribution for entire curves to the framework of parabolic manifolds. Those are manifolds endowed with a plurisubharmonic exhaustion function, solution of the homogeneous complex Monge-Ampère equation, which naturally induces a hermitian pseudo-metric. This class includes for instance $C^m$ and holomorphic ramified covers of $C^m$. We prove a `Second Main Theorem’-type inequality and a Tautological inequality for holomorphic maps $f:Mo X$ from a parabolic manifold $M$ into a smooth projective variety $X$ of dimension $dim Xgeq dim M$. Such results provide estimations of the size of $f(M)cap D$ for a given divisor $D$.
The second part of this work is devoted to the study of complements of divisors in $P^n$ and their hyperbolicity properties. We already know, by a result of Green, that the complement of $2n+1$ generic hyperplanes in $P^n$ is hyperbolic.
Moreover, when the logarithmic cotangent bundle has in some sense the strongest postivity property, then the complement is hyperbolic.
We formalise this idea with the notions of `ample modulo boundary’ and `almost ample’ logarithmic cotangent bundle. These two notions are related to the minimality of some augmented base loci.
We obtain a necessary and sufficient condition on the hyperplane arrangement so that the logarithmic cotangent bundle is almost ample. In particular, we deduce that the property holds when one has at least $4n-2$ generic components.
We obtain similar results in the orbifold setting and give some applications to hyperbolicity.
Cette thèse s’inscrit dans le domaine de l’hyperbolicité complexe, qui étudie la répartition des courbes entières dans des variétés, et plus généralement des valeurs des applications méromorphes entre variétés complexes.
Les apports de ce mémoire concernent principalement deux problèmes.
Premièrement, on souhaite étendre des concepts et des résultats de la théorie de Nevanlinna pour des courbes entières au cadre d’applications méromorphes définies sur des variétés plus générales, dites paraboliques. Ces variétés sont munies d’une fonction d’exhaustion plurisousharmonique, solution de l’équation de Monge-Ampère complexe homogène, qui induit naturellement une pseudo-métrique hermitienne. Cette classe inclut notamment $C^m$ (la fonction d’exhaustion est simplement la norme euclidienne) et les revêtements holomorphes ramifiés de $C^m$. Nous notamment des résultats de type « Second Théorème Principal » et « Inégalité tautologique » pour des applications holomorphes $f:Mo X$ d’une variété parabolique $M$ dans une variété projective lisse $X$ de dimension $dim Xgeq dim M$. Ce type de résultats donne des estimations de la proximité de l’image de $f$ à un diviseur $Dsubset X$ donné.
La deuxième partie de ces travaux de thèse est consacrée à l’étude des propriétés d’hyperbolicité de complémentaires de diviseurs dans l’espace projectif complexe $P^n$.
On sait déjà, par un résultat de Green, que le complémentaire de $2n+1$ hyperplans génériques dans $P^n$ est hyperbolique.
De plus, si dans un certain sens, le cotangent logarithmique associé à une paire logarithmique est « le plus ample possible », alors le complémentaire est hyperbolique.
On formalise cette idée par les notions de cotangent logarithmique « presque ample » et « ample modulo le bord ». Ces deux notions sont définies par la minimalité d’un certain lieu base augmenté.
Grâce entre autres à des arguments de géométrie projective duale, nous obtenons une condition nécessaire et suffisante sur l’arrangement d’hyperplans pour que le fibré cotangent logarithmique soit presque ample. Nous en déduisons en particulier que cette propriété est satisfaite lorsqu'on a au moins $4n-2$ hyperplans génériques.
Nous obtenons le même type de résultats dans le cadre orbifolde et donnons quelques applications en hyperbolicité.
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